Suites et récurrence (S)

5 - Suites et récurrence (S)

Vocabulaire

Nous avons vu dans le cours de première sur les suites ce qu'est une suite croissante, décroissante, monotone, majorée, minorée, bornée. Voyons maintenant ce qu'est une suite convergente et ce que sont des suites adjacentes.

Une suite convergente est une suite qui tend vers un certain nombre, appelé limite de la suite, lorsque n tend vers l'infini. C'est donc une suite u telle qu'il existe un nombre réel l tel que . Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente.

Deux suites adjacentes sont deux suites, l'une croissante, l'autre décroissante, dont les termes se rapprochent lorsque n tend vers l'infini, c'est à dire telles que .

Exemples

- la suite définie pour tout n par est croissante, monotone, majorée, minorée, bornée, et convergente. Elle admet pour limite 2.
- la suite définie pour tout n par est majorée, minorée, bornée et divergente.

Remarquons qu'une suite croissante est toujours minorée par son premier terme, et une suite décroissante est toujours majorée par son premier terme. Une suite monotone peut être convergente ou divergente.

Propriétés

Toute suite croissante et majorée est convergente et toute suite décroissante et minorée est convergente (mais attention, leur limite n'est pas forcément égale au majorant ou au minorant).
Si deux suites sont adjacentes, alors elles sont convergentes et elles convergent vers la même limite.

Suite croissante majorée	Suites adjacentes

Suites définies par récurrence

Une suite définie par récurrence est une suite dont on donne la valeur d'un terme ainsi qu'une relation reliant son terme général d'ordre n au terme suivant d'ordre n+1. Par exemple, la suite est définie par récurrence. Soit f la fonction qui donne en fonction de . Si on sait que la suite u est convergente et que la fonction f est continue en l, alors, en passant à la limite dans la relation de récurrence, on obtient l'égalité . Cette équation permet généralement de calculer l.

Notons aussi que pour des suites définies de cette manière, on peut déterminer une valeur approximative de ses termes et conjecturer sur la convergence ou non de la suite à l'aide d'un dessin. Traçons dans un repère orthonormé la courbe représentative de f, et sur l'axe des abscisses plaçons le premier terme . On a donc à l'aide de la courbe de f on peut placer sur l'axe des ordonnées le terme . Pour rapporter ce terme sur l'axe des abscisses, traçons maintenant la droite d'équation y=x. En revenant depuis sur cette droite et en descendant vers l'axe des abscisses, on reporte ainsi sur l'axe des abscisses. On peut maintenant avec f placer sur l'axe des ordonnées puis rapporter sa valeur sur l'axe des abscisses à l'aide de la droite d'équation y=x. On peut ainsi placer plusieurs termes de la suite sur l'axe des abscisses et deviner la limite de la suite.

Raisonnement par récurrence

Rien à voir avec les suites. Le raisonnement par récurrence est un type de raisonnement qui permet de démontrer qu'une propriété, qui dépend d'un entier naturel n, est vraie pour tout n. Par exemple si on doit démontrer que est toujours un multiple de 3, on utilise généralement un raisonnement par récurrence. Un raisonnement par récurrence se décompose en 4 étapes.

1. On pose ="la propriété que l'on veut démontrer", par exemple ici on posera

2. On montre que est vraie. C'est généralement assez simple. Ici est vraie car et 0 est un multiple de 3.

3. On montre que pour tout nombre n, si est vraie, alors est encore vraie. C'est l'étape la plus difficile. Pour rédiger la solution on écrit : "Soit n un nombre entier naturel. Supposons que soit vraie.". On doit montrer que est encore vraie, c'est à dire que est un multiple de 3.

est bien sur un multiple de 3.
est un multiple de 3 car est vraie. La somme de deux multiples de 3 est un multiple de 3, donc est un multiple de 3, donc est un multiple de 3, donc est vraie.

4. On conclut. Vu que est vraie, et que pour tout n, , on a , donc est vraie, donc est vraie, etc... et donc du coup est vraie pour tout n. Pour rédiger on écrit juste : "Par principe de récurrence, est vraie pour tout n".