Les fonctions

Théorème des valeurs intermédiaires

Une fonction continue est une fonction dont on peut tracer la représentation graphique sans lever le crayon. Si une fonction est continue et sur un intervalle [a,b], alors pour nombre y de l'intervalle l'équation admet au moins une solution dans l'intervalle [a,b]. C'est le théorème des valeurs intermédiaires. Si de plus la fonction est strictement monotone (c'est à dire soit croissante soit décroissante) sur [a,b] alors la solution est unique.

Le deux fonctions ci-dessous, réciproques l'une de l'autre, apparaissent dans de nombreux problèmes des sciences de la nature et des sciences physiques.

Fonction exponentielle

C'est une fonction qui est toujours égale à sa dérivée. Autrement dit, elle vaut toujours en un point a le coefficient directeur de sa tangente en x=a. Elle est notée ou .

Représentation graphique:

On lit:

Si u est une fonction, alors

Le nombre vaut environ 2,718. On le note plus simplement e. Dans l'expression de la fonction, il est mis en puissance x. La fonction exponentielle est donc une fonction puissance et peut appliquer les formules des puissances à e. En particulier:

Fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, notée ln est la réciproque de la fonction exponentielle, c'est à dire que c'est la fonction telle que pour tout nombre a, on ait et pour tout nombre a positif, on ait . Son ensemble de définition est car les images de la fonction exponentielle sont toujours dans cet intervalle.

Représentation graphique:

On lit:

La dérivée de la fonction logarithme est la fonction inverse 1/x. D'une manière générale si u est une fonction et si , alors :

Cette fonction possède une propriété importante: elle peut transformer un produit en somme! En effet pour tous nombres a et b, on a:

Avec cette propriété importante remarquons que . Quand on a une puissance à l'intérieur de la fonction ln, on peut passer l'exposant devant la fonction.