Les probabilités

Probabilités conditionnelles

Roger Federer et Raphaël Nadal jouent au tennis en finale du tournoi de Wimbledon. Si Federer remporte le premier set alors il a 8 chances sur 10 de remporter le match. Si Nadal remporte le premier set alors il a 1 chance sur 2 de remporter le match. Nadal n'a que 3 chances sur 10 de gagner le premier set, quelle est la probabilité qu'il gagne le match ?

Il faut distinguer deux cas : il peut gagner le match en ayant gagné le premier set ou en l'ayant perdu. Appelons S l'évènement "Nadal remporte le premier set", M l'évènement "Nadal remporte le match", et faisons un dessin appelé arbre de probabilités.

est la probabilité de M sachant S, c'est la probabilité que Nadal remporte le match sachant qu'il a remporté le premier set. D'après l'énoncé cette probabilité vaut ½. On la note sur l'arbre. On note aussi sur l'arbre toutes les probabilités que l'on connaît.
L'évènement "Nadal perd le premier set et remporte le match" est l'évènement . Sa probabilité est égale au produit des probabilités se trouvant sur la branche correspondante. Il doit déjà perdre le premier set (0,7) puis gagner le match sachant qu'il a perdu le premier set (0,2).

L'évènement "Nadal gagne le premier set et remporte le match" est l'évènement . Sa probabilité est égale à .

Pour calculer la probabilité que Nadal remporte le match, additionne les deux précédents résultats. C'est la formule des probabilités totales.

Raphaël Nadal a un peu moins de 3 chances sur 10 de remporter le match.

Dénombrement

Une urne contient 5 boules numérotées de 1 à 5, les 3 premières sont vertes, les 2 dernières sont rouges.

1. On tire une boule. Quelle est la probabilité qu'elle soit verte? C'est facile, c'est pour se mettre en forme:

2. On tire successivement 5 boules en les remettant chaque fois dans l'urne. Quelle est la probabilité de tirer 5 boules rouges? La réponse est

Les probabilités se multiplient.

3. Plus difficile: on tire successivement 3 boules sans les remettre dans l'urne. Quelle est la probabilité d'obtenir 2 vertes et une rouge? Il faut faire un arbre à 60 branches (5 puis 4 puis 3) pour examiner tous les cas qui amènent au résultat et additionner leurs probabilités. Seules les issues VVR, VRV ou RVV conviennent. Donc:

4. De combien de façons différentes peut-on tirer simultanément 3 boules de l'urne (par exemple tirer les boules 123, 125, 345, mais pas 132 car on l'a déjà compté)?
La réponse est le nombre qui vaut 10. C'est le nombre de sous-ensembles de 3 éléments contenus dans un ensemble de 5 éléments.

5. On tire 3 boules en même temps. Quelle est la probabilité de tirer 2 vertes et une rouge (évènement E)? Il faut diviser le nombre de cas favorables par le nombre de cas total. Le nombre de cas favorables est égal au nombre de possibilités de tirer 2 vertes parmi 3 vertes multiplié par le nombre de possibilités de tirer une rouge parmi 2 rouges. Le nombre de cas total est 10 (question précédente). Donc:

Remarque

Les nombres servent aussi à développer une expression du type . En effet :

Cette propriété est connue sous le nom de formule du binôme de Newton.