Nombre Complexe

7 - Nombres complexes

Les nombres complexes sont simples.

Un nombre complexe est un nombre qui peut s'écrire sous la forme , où i est un nombre imaginaire tel que . Le nombre a s'appelle la partie réelle du nombre complexe, et le nombre b sa partie imaginaire. a et b sont des nombres réels.

Les nombres complexes ont été inventés pour permettre à des équations qui n'ont pas de solutions (par exemple x²=-1) d'en avoir et ainsi rendre les mathématiques plus belles!

Calcul avec des nombres complexes

- Exemple:

- Si , le conjugué de z est le nombre complexe .
- Pour écrire le nombre complexe sous la forme , appelée forme algébrique, on multiplie le haut et le bas par le conjugué du bas. Ainsi :

Nombres complexes dans le plan

Les nombres complexes peuvent être placés dans un plan appelé plan complexe. Le plan complexe est toujours muni d'un repère et on ne parle plus de coordonnées mais d'affixe. Au lieu d'avoir deux coordonnées nous n'avons plus qu'une seule affixe pour repérer les points.

Ici L est un point d'affixe , I est un point d'affixe , et T est un point d'affixe .

Module et argument

La notion de coordonnées polaires se transpose dans le plan complexe de la façon suivante.

Si M est un point du plan d'affixe z, on note (se prononce module de z) la distance OM, et (se prononce argument de z) l'angle . Si on a toujours :

Ces formules permettent de calculer le module et l'argument d'un nombre complexe. Une fois que l'on connaît le module et l'argument, on peut écrire le nombre complexe sous sa forme trigonométrique :

Ou sous sa forme exponentielle :

Propriétés du module et de l'argument

Le module d'un produit est égal au produit des modules et l'argument d'un produit est égal à la somme des arguments : si z et z' sont deux nombres complexes, on a :

Distances et angles

Si A est un point d'affixe et B est un point d'affixe , alors le vecteur a pour affixe . C'est comme pour les coordonnées. Plaçons maintenant un point M tel que .

Comme , le point M a pour affixe . Donc , donc pour calculer des distances dans le plan complexe, on a la formule :

Ajoutons maintenant sur le dessin deux points C et D d'affixes et .
On a , donc .

Et de même, donc .

Comme , on a finalement :

D'une manière générale, pour calculer un angle dans le plan complexe, on a la formule :

Transformations dans le plan complexe

Il existe des formules qui permettent de calculer, dans le plan complexe, l'affixe de l'image d'un point par une translation, une homothétie, ou une rotation. Si M est un point d'affixe z, si est un point d'affixe , si est un vecteur d'affixe t, alors l'image de M par la translation de vecteur a pour affixe , l'image de M par l'homothétie de centre et de rapport k a pour affixe , et l'image de M par la rotation d'angle et de centre a pour affixe .